Teknisk Elasticitetslære/5
§ 5. Flytning af Polen. Tegner man to Tovpolygoner til samme System af Kræfter men med forskellige Poler, ville de til hinanden svarende Sider i de to Tovpolygoner skære hinanden i Punkter af en ret Linie, parallel med Polernes Forbindelseslinie.
Man kan nøjes med at betragte en enkelt af Kræfterne, P, (Fig. 6, Pl. 1.) og de dertil stødende Tovpolygonsider. I Kraft- og Tovpolygonen (Fig. 6 b og 6 a) faar man da to Firkanter, der af Diagonalerne deles hver i 4 Trekanter; de tre Par af disse ere ligedannede, idet Siderne ere parallele, og derigennem findes ogsaa det fjerde Par (hvori OO1 og cd ere Sider) at være ligedannede, idet de faa en Vinkel ligestor og to Par Sider proportionale; altsaa er cd ≠ OO1.[1] Udvidelsen til flere Kræfter foretages let.
Sætningen kan udtrykkes saaledes: naar Polen gennemløber en ret Linie, ville Tovpolygonsiderne dreje sig om faste Punkter i en ret Linie (Polaraxen), parallel med Polernes Forbindelseslinie.
Omvendt: naar to Tovpolygonsider dreje sig om faste Punkter c og d, ville alle de andre Sider dreje sig om Punkter i Linien ed, og Polen vil gennemløbe en ret Linie parallel med cd.
Thi ifølge Beviset ovenfor er Polernes Forbindelseslinie cd ≠ OO1, og dernæst vides, at ogsaa de andre Tovpolygonsider ville dreje sig om Punkter i cd, naar Polen bevæger sig fra O til O1.
De beviste Sætninger kunne benyttes til at tegne en ny Tovpolygon uden at finde den tilsvarende Pol; man trækker blot de nye Tovpolygonsider gennem Skæringspunkterne for Siderne i den første Tovpolygon og Polaraxen; den nye Pol kan bestemmes ved at trække et Par Straaler i Kraftpolygonen, parallele med de tilsvarende Tovpolygonsider. Derved har man ogsaa et Middel til at faa Tovpolygonen til at opfylde visse Betingelser, f. Ex. til at gaa gennem givne Punkter o. l.
Vil man saaledes konstruere en Tovpolygon, der gaar gennem tre givne Punkter, kan man gaa frem paa følgende Maade:
Man tegner først en Tovpolygon med en vilkaarlig Pol O1, og som gaar gennem et af de givne Punkter, A (den punkterede i Fig. 7, Pl. 1). Dernæst vælges en vilkaarlig Linie AD gennem A som Polaraxe, og man konstruerer en ny Tovpolygon (den fuldt optrukne i Fig 7), der gaar gennem det givne Punkt B, idet man begynder med Siden DB. Ved endelig at vælge AB som Polaraxe kan man faa Tovpolygonen til at gaa gennem det tredie givne Punkt (ikke udført i Fig. 7).
Ved den angivne Fremgangsmaade maa man tegne to Hjælpe-Tovpolygoner for at finde den søgte; da Konstruktionen imidlertid har Betydning ved Behandlingen af forskellige Opgaver (Hvælvinger, 3-Charniersbuer), skal her vises en simplere Løsning.
Alle de Tovpolygoner til et givet Kraftsystem, der gaa gennem to faste Punkter, have ifølge det ovenfor viste deres Poler liggende paa en ret Linie, parallel med de to Punkters Forbindelseslinie. Vi ville begynde med at bestemme dette geometriske Sted for Polen.
Naar man skal bringe to Sider i en Tovpolygon til at gaa gennem to givne Punkter, A og B, kan man nøjes med at betragte disse to Sider og Resultanten af de mellemliggende Kræfter. I Fig. 8, Pl. 1, er R denne Resultant, I, II en vilkaarlig Tovpolygon (med Polen O1) til Kraften R. Linierne Aa1 og Bb1, der skære hinanden i c paa R, danne en ny Tovpolygon med Polen O2. De to Tovpolygoners tilsvarende Sider skære hinanden i a1 og b1, hvorfor a1b1 ≠ O1O2. Lader man nu Tovpolygonsiderne Aa1 og Bb1 dreje sig om A og B, maa Polen gennemløbe Linien O2m ≠ AB, og naar Tovpolygonsiderne specielt ere blevne parallele med R (Aa og Bb), er Polen kommen i m. Men saa er O1m ≠ ab, af samme Grund som ovenfor førte til O1O2 ≠ a1b1. Det søgte geometriske Sted O2m for Polen findes derfor ved at trække Aa og Bb parallele med R, O1m ≠ ab og O2m ≠ AB.
Samtidigt med at Aa1 og Bb1 dreje sig om A og B og Polen gennemløber O2m, ville Polaraxerne a1b1, ab... gaa gennem et fast Punkt M i AB; thi Trekanten a1b1c glider med sine Vinkelspidser paa tre rette Linier gennem samme Punkt. medens to af dens Sider dreje sig om Punkterne A og B; den tredie Side a1b1 maa saa ogsaa dreje sig om et fast Punkt paa AB.
Den oprindelige Opgave, at tegne en Tovpolygon gennem tre givne Punkter, A, B og C, er selvfølgelig løst, naar man har faaet Polen bestemt. Da Tovpolygonen skal gaa gennem A og B, maa Polen ligge paa en Linie parallel med AB, der bestemmes som ovenfor, og paa samme Maade finder man en anden Linie parallel med BC som geometrisk Sted for Polen. Den almindelige Løsning er vist i Fig. 9, Pl. 2. Der er først tegnet en vilkaarlig Tovpolygon (den punkterede) til de givne Kræfter 1—4 med Polen O1; Resultanten af Kræfterne 1 og 2 mellem A og B er DE, og parallelt med DE trækkes Aa og Bb' til Skæring med Tovpolygonen; ligeledes er EF Resultant af Kræfterne 3 og 4, og parallelt med EF trækkes Linierne Bb'' og Cc. Dernæst trækkes O1m ≠ ab' og O1n ≠ b''c, hvorefter den søgte Pol O findes ved mO ≠ AB og nO ≠ BC.
Polaraxen for de to Tovpolygoner er MN, bestemt ved Skæringspunkterne for AB og ab' og for BC og b''c: man maa derfor have MN ≠ OO1. Ved Hjælp heraf kan den søgte Tovpolygon maaske findes uden at bestemme O, men muligvis falde en Del af Skæringspunkterne mellem MN og Tovpolygonsiderne ubekvemt; O kan i saa Fald bestemmes ved O1O ≠ MN og ved en Straale i Kraftpolygonen parallel med en af de Tovpolygonsider, hvis Skæring med MN falder bekvemt.
Opg. 1. Konstruer en Tovpolygon til et givet Kraftsystem, saaledes at den gaar gennem to givne Punkter, og at en af Siderne har en given Retning, eller at Polen i Kraftpolygonen har en given Afstand fra Kræfternes Resultant.
- ↑ Et statisk Bevis for Sætningen findes f. Ex. i Jul. Petersen: Statik. Kbhvn. 1881, S. 123.