Teknisk Elasticitetslære/18

by Asger Ostenfeld

II. Forskydning.

§ 18. De Formforandringer, vi hidtil have betragtet, vare Ændringer af Længder; nu skulle vi undersøge Ændringer af Vinkler.

Af et Legeme, der er paavirket af ydre Kræfter, tænke vi os et uendelig lille Parallelopipedum skaaret ud og lade Spændingerne i dets Sideflader virke derpaa som ydre Kræfter. Foreløbig tænke vi os, at der kun findes Spændinger i to modstaaende Sideflader AA og BB (Fig. 43, Pl. 5), og at disse Spændinger virke i Sidefladernes Planer; de maa da være lige store og modsat rettede, for at der kan være Ligevægt. De nævnte Kræfter kunne aabenbart ikke bevirke nogen som helst Længdeforandring af Siderne AA og BB; det eneste, der kan ske, er, at Sidefladerne AA og BB komme til at glide i deres Planer, saa de blive forskudte for hinanden, og det viser sig ved, at de oprindelig rette Vinkler have forandret deres Størrelse.

Idet den uendelig lille Kraft, der virker i AA, kaldes dT, Sidefladen AA's Areal dF, haves Kraften pr. Arealenhed

$\tau ={\frac {dT}{dF}}$,

hvilken Størrelse kaldes Forskydningsspændingen. Formforandringen BB' maa ifølge Hooke's Lov være proportional med Kraften dT, ifølge Forudsætningen om Homogenitet ligefrem proportional med Længden AB, omvendt med Tværsnittet dF; man har altsaa:

$BB'=K.AB{\frac {dT}{dF}}$ eller $\tau =K_{1}{\frac {BB'}{AB}}$.

K₁ er en Konstant, der kun er afhængig af Materialet; den kaldes Elasticitetskoefficienten for Forskydning og betegnes sædvanlig ved G. Af Ligningen ovenfor ses Betydningen af G at være ganske analog med Betydningen af E i § 14; man har nemlig G lig Forholdet mellem Kraften pr. Arealenhed ($\tau$) og Forskydningen pr. Længdeenhed $\left({\frac {BB'}{AB}}\right)$. G er af Dimensionen kg./cm.².

Idet ${\frac {BB'}{AB}}=\operatorname {tg} .\phi$, (Fig. 43), skrives Udtrykket for $\tau$:

$\tau =G\operatorname {tg} .\phi$,

(3).

hvilket er Relationen mellem Spænding og Formforandring. Denne sidste er udtrykt ved $\operatorname {tg} .\phi$, hvor $\phi$ er Ændringen af den rette Vinkel mellem det Snit, hvis Forskydning der er Tale om, og dets Normal. Hvis Snittet selv flytter sig under Legemets Formforandring, kan man tænke sig det bragt hen i sin nye Stilling ved en Parallelforskydning og Drejning uden Ændring af nogen Vinkel og først derefter Forskydnings-Formforandringen udført; Vinklen $\phi$, der skal bruges som Maal for Formforandringen, er i saa Fald den Vinkel, som Snittets Normal maa dreje sig, efterat Snittet er bragt hen i sin nye Stilling.

Vi skulle nu have fat paa en Relation mellem Forskydningsspændingen $\tau$ og de ydre Kræfter. Hvis vi lægge et Snit, der deler Legemet i to Dele, og kun betragte det paa den ene Side af Snittet liggende Stykke af Legemet og de herpaa virkende ydre Kræfter, skal Resultanten T af alle de ydre Kræfters Projektioner paa Snitplanen være lig Resultanten af de forskydende Kræfter $\tau .dF$ i de enkelte Arealelementer dF af Snittet. Man kunde nu paa sædvanlig Maade opskrive tre Ligevægtsbetingelser for alle disse Kræfter i Snitplanen, men alene derved vilde man dog ikke faa tilstrækkeligt til at bestemme Størrelsen af $\tau$ i alle de forskellige Punkter. Vi skulle senere efterhaanden se, hvorledes man i specielle Tilfælde kan naa til en saadan Bestemmelse; her skal blot bemærkes, at hvis Forskydningsspændingen var ensformig fordelt over Snittet ($\tau$ lige stor og ens rettet i alle Punkter), vilde man have:

$T=\int \tau dF=\tau .F=G.F.\operatorname {tg} .\phi$,

(3 a).

hvor T er Projektionen af de ydre Kræfters Resultant paa Snitplanen, F Snittets Areal.

Den nævnte Fordeling af Forskydningsspændingerne kan, som vi strax skulle se, aldrig forekomme, men man regner i Praxis i mange Tilfælde, som om den var til Stede; man faar naturligvis saa ikke den nøjagtige Størrelse af $\tau$, men en Middelværdi for det paagældende Snit, og dette kan ofte være nøjagtigt nok.

Hvis vi ville gaa videre med Forudsætningen om den ensformige Fordeling af Forskydningsspændingen, have vi i Ligning (3 a) Relationen mellem de ydre Kræfter og Formforandringen, saa denne sidste kan bestemmes, naar T er givet.

Naar man skal bestemme Dimensioner, har man hertil, at Formforandringen $\operatorname {tg} .\phi$ ikke i noget Punkt maa overskride den tilladelige Værdi. Da $\operatorname {tg} .\phi$ og $\tau$ ere proportionale, kan man imidlertid ligesom i § 14 i Stedet herfor sætte den Betingelse, at Forskydningsspændingen $\tau$ ikke i noget Punkt maa overskride den tilladelige Værdi f. Under Forudsætning af ensformig Fordeling af $\tau$ faas da til Dimensionsbestemmelsen (Bestemmelse af F):

$T=f.F$.

Denne Lignings Anvendelse i Praxis er ofte fuldkommen berettiget; thi som vi senere skulle se, gaar man ved Fastsættelsen af f's Værdi ud fra den Spænding $\tau$, som ved Forsøg findes at frembringe Brud; og denne Spænding $\tau$ beregnes af den Kraft T, der er nødvendig for at frembringe Brud, og af Tværsnittet F ved samme Ligning: $T=f.F$.