Teknisk Elasticitetslære/19

by Asger Ostenfeld

§ 19. Forskydningsspændingerne i to paa hinanden vinkelrette Snit. Naar man i et af ydre Kræfter paavirket Legeme lægger et Snit, vil Spændingen heri i Almindelighed være skraat rettet mod Snittet og altsaa kunne opløses i en Komposant vinkelret paa Snittet og en i Snittets Plan. Den første bevirker alene Træk eller Tryk (Normalspændinger), den sidste alene Forskydning.

Hvis man betragter et bestemt Punkt i Legemet og udskærer et uendelig lille tresidet Prisme om Punktet, og hvis man endvidere forudsætter, at der ingen Kræfter virker i Retning af Prismets Kanter, hvad som oftest vil være Tilfældet i de praktiske Anvendelser, har man (Fig. 44, Pl. 5) Spændingerne paa Sidefladerne AB og AC fremstillede ved de skraat rettede Kræfter P_c og P_b. P_c opløses i P_c' ≠ AC og P_c'' i AB, ligesaa P_b i P_b' ≠ AB og P_b'' i AC. Idet AB og AC ere uendelig smaa, kunne P_c og P_b og ligeledes Kraften P_a paa BC altid betragtes som ensformig fordelte over de Snit, hvorpaa de virke, og derfor som gaaende gennem Snittenes Midtpunkter. For at der skal være Ligevægt, maa de tre Kræfter gaa gennem samme Punkt og danne en lukket Krafttrekant. Ligevægtsbetingelsen kan ogsaa udtrykkes saaledes, at Resultanten af P_b og P_c skal være lig P_a og modsat rettet. Sammensætningen af P_b og P_c kan foretages ved at sammensætte deres ovenfor nævnte Komposanter, og da P_c' og P_b' aabenbart give en Resultant gennem Midtpunktet af BC, maa dette ogsaa være Tilfældet med P_c'' og P_b'; for at det sidste skal være muligt, maa imidlertid:

${\frac {P_{c''}}{AB}}={\frac {P_{b''}}{AC}}$.

Disse Brøker fremstille Spændingerne pr. Arealenhed i Snittenes Planer, naar Opløsningen af Kræfterne foretages som her angivet. Hvis man i Stedet for Kræfterne P_c og P_b, havde opløst Spændingerne ${\frac {P_{c}}{AB}}$ og ${\frac {P_{b}}{AC}}$ efter de to Snitretninger, vilde man altsaa faa de i Snitplanerne faldende Spændinger lige store.

Hvis specielt ${\frac {P_{c''}}{AB}}=0$, maa ogsaa ${\frac {P_{b''}}{AC}}=0$, hvoraf følger, at naar man i et Punkt kender et Snit a og Retningen af den herpaa virkende Spænding P_a, saa maa Spændingen P_b paa et Snit b ≠ P_a være rettet parallelt med Snittet a. Snittene a og b kaldes konjugerede Snitretninger, P_a ≠ b, P_b ≠ a. Til Benyttelsen heraf skulle vi komme tilbage i et senere Afsnit. Hvis specielt Snittene AB og AC ere vinkelrette paa hinanden, angive Komposanterne P' og P de normale og tangentielle Kræfter; Spændingen ${\frac {P_{c}''}{AB}}=\tau _{c}$ er Forskydningsspændingen i Snittet AB. Man har altsaa:

$\tau _{c}=\tau _{b}$,

følgelig: i to paa hinanden vinkelrelle Snit ere Forskydningsspændingerne lige store, og man ser fremdeles, at det er nødvendigt for Ligevægten, at $\tau _{b}$ og $\tau _{c}$ begge virke hen mod Skæringslinien A mellem Snittene eller begge bort fra denne.^[1]

I § 18 forudsatte vi, at der paa det uendelig lille Parallelopipedum (Fig. 43, Pl. 5) kun virkede Forskydningsspændinger i to modstaaende Sideflader, og det bemærkedes, at disse to Kræfter maatte være lige store og modsat rettede, for at der skulde kunne være Ligevægt. Naturligvis er dette ikke tilstrækkeligt til at skaffe Ligevægt; de to Kræfter i Snittene AA og BB danne et Kraftpar, og der kan følgelig kun blive Ligevægt, naar Parallelopipedet er paavirket af endnu et Kraftpar med lige saa stort Moment og drejende i modsat Retning. Ifølge den nu beviste Sætning maa der imidlertid i de to Sideflader AB ogsaa virke Spændingerne $\tau$ (pr. Arealenhed), og naar AA = dx, AB = dy og den tredie Kant = dz, har man Momentet af det første Kraftpar lig $(\tau dxdz).dy$, af det andet $(\tau dydz).dx$. Sætningen om Forskydningsspændingernes Ligestorhed i to paa hinanden vinkelrette Snit er her kun bevist under Forudsætning af, at der ingen Kræfter virker parallelt med Prismets Kanter i Fig. 44. Den gælder imidlertid ganske almindeligt.

Vi betragte igen et uendelig lille Parallelopipedum (Fig. 45, Pl. 5), der er skaaret ud af et af ydre Kræfter paavirket Legeme, og i alle sine Sideflader er paavirket af normale og tangentielle Kræfter. Vi lægge et Koordinatsystem med Begyndelsespunkt O i det ene Hjørne og med Axerne sammenfaldende med de tre fra O udgaaende Kanter. Parallelopipedets Kantlængder ere dx, dy og dz. Sidefladen OA er paavirket af en Normalspænding $\sigma _{x}$, og af en forskydende Spænding $\tau _{x}$, der har Komposanterne $\tau _{xz}$ og $\tau _{xy}$ efter z- og y-Axerne. I Sidefladen BC maa der da, idet vi forudsætte en kontinuerlig Variation af Spændingerne, virke Normalspændingen $-\left(\sigma _{x}+{\frac {\delta \sigma _{x}}{\delta x}}dx\right)$ og Forskydningsspændingerne $-\left(\tau _{xz}+{\frac {\delta \tau _{xz}}{\delta x}}dx\right)$ og $-\left(\tau _{xy}+{\frac {\delta \tau _{xy}}{\delta x}}dx\right)$.

Alle Spændinger regnes positive i de positive Koordinatretninger. Ovenstaaende Udtryk angive Spændingerne, d. v. s. pr. Arealenhed; Kræfterne (absolute Størrelser) findes ved at multiplicere med Sidefladens Areal dydz. Spændingerne i de andre Sideflader betegnes analogt hermed. Foruden de nævnte Kræfter virker der visse Massekræfter, $\gamma dxdydz$, angribende i Parallelopipedets Midtpunkt; Overfladekræfterne angribe i Sidefladernes Midtpunkter.

Vi ville opskrive Momentligningen for en Axe gennem Parallelopipedets Midtpunkt og f. Ex. parallel med y-Axen. Alle Normalkræfter og Massekræfter skære Axen eller ligge i den og give altsaa ingen Momenter, Forskydningsspændingerne i Sidefladerne OB og AC heller ikke og endelig de med y-Axen parallele Komposanter af Forskydningsspændingerne i de fire tilbageværende Sidellader heller ikke. — Tilbage er der nu kun Forskydningsspændingerne $\tau _{xz}$ (i AO) og $\tau _{zx}$ (i OC) samt de tilsvarende i BC og AB; kun disse ere derfor viste i Fig. 45. Momentligningen bliver da:

$(\tau _{xz}dzdy){\frac {1}{2}}dx+\left(\tau _{xz}+{\frac {\delta \tau _{xz}}{\delta x}}dx\right)dzdy.{\frac {1}{2}}dx$

$-(\tau _{zx}dxdy){\frac {1}{2}}dz-\left(\tau _{zx}+{\frac {\delta \tau _{zx}}{\delta x}}dx\right)dxdy.{\frac {1}{2}}dz=0$.

Naar uendelig smaa Størrelser af 4de Orden bortkastes og dxdydz bortdivideres, faas heraf:

$\tau _{xz}=\tau _{zx}$.

I sin almindeligste Form hedder Sætningen altsaa: i to vilkaarlige paa hinanden vinkelrette Snit ere de Komposanter af Forskydningsspændingerne, der staa vinkelret paa Snittenes Skæringslinie, lige store, og de virke begge hen mod eller begge bort fra denne Skæringslinie. Den sidste Del af Sætningen følger af, at man fandt: $\tau _{xz}=+\tau _{zx}$ med de i Fig. 45 angivne Kraftretninger.

Ved Hjælp af denne Sætning kan man indse, at den ovenfor omtalte ensformige Fordeling af Forskydningsspændingerne er umulig. Vi lægge de to paa hinanden vinkelrette Snitelementer a og b saaledes (Fig. 46, Pl. 5), at det ene (b) falder i Overfladens Tangentplan; for denne Beliggenhed af Snittene gælder Sætningen ovenfor lige saa godt som ellers, og da Forskydningsspændingen i Overfladen er Nul, maa ogsaa den Komposant af Forskydningsspændingen i a være Nul, der er vinkelret paa Snittenes Skæringslinie (Tangenten til Snittet a's Omrids). Heraf følger altsaa, at Forskydningsspændingen i et Snitelement ude ved Legemets Overflade og vinkelret paa denne er rettet efter Snittets Tangent; den kan følgelig ikke i alle et Snits Punkter være parallel med den tangentielle Komposant T af de ydre Kræfter, saaledes som den ensformige Fordeling ovenfor forudsætter. Endvidere kan Spændingens Størrelse ikke være den samme i alle et Normalsnits Punkter; thi i det Element, hvis Tangent er vinkelret paa T, er Forskydningsspændingen Nul.

1. Udviklingen hidtil er taget efter W. Ritter: Anwendungen der grafischen Statik, I., Zürich, 1888.