Teknisk Elasticitetslære/17

by Asger Ostenfeld

§ 17. Træk- eller Trykpaavirkning samtidigt i flere Retninger. Da Formforandringerne baade i Kraftens Retning og vinkelret derpaa ere lineære Funktioner af Belastningerne, kan den fra flere samtidig virkende Kræfter hidrørende Formforandring findes ved Addition af de af hver Kraft for sig bevirkede. Har man saaledes et Parallelopipedum (Fig. 42, Pl. 5), der i sine tre Hovedretninger er paavirket af Kræfterne P_x, P_y og P_z (positive for Træk, negative for Tryk), saa beregner man først Formforandringerne pr. Længdeenhed fra hver Kraft for sig. Kraften P_x alene giver $\epsilon _{x}={\frac {P_{x}}{EF_{x}}}={\frac {\sigma _{x}}{E}}$, idet Tværsnittet vinkelret paa x-Retningen har Arealet F_x og ${\frac {P_{x}}{F_{x}}}=\sigma _{x}$; med analoge Betegnelser i de andre Retninger faas følgende Sammenstilling:

			Forlængelser i
			x-Retningen	y-Retningen	z-Retningen
Px	alene	giver	$\epsilon _{x}$	$-{\frac {1}{m}}\epsilon _{x}$	$-{\frac {1}{m}}\epsilon _{x}$
Py	—	—	$-{\frac {1}{m}}\epsilon _{y}$	$\epsilon _{y}$	$-{\frac {1}{m}}\epsilon _{y}$
Pz	—	—	$-{\frac {1}{m}}\epsilon _{z}$	$-{\frac {1}{m}}\epsilon _{z}$	$\epsilon _{z}$

Ved samtidig Virkning af alle tre Kræfter faas Forlængelserne pr. Længdeenhed i de tre Retninger $\epsilon _{1}$, $\epsilon _{2}$ og $\epsilon _{3}$, hvor

$\epsilon _{1}=\epsilon _{x}-{\frac {1}{m}}(\epsilon _{y}+\epsilon _{z})={\frac {1}{E}}\left(\sigma _{x}-{\frac {1}{m}}(\sigma _{y}+\sigma _{z})\right)$,

og analoge Udtryk for $\epsilon _{2}$ og $\epsilon _{3}$.

Nu ere Formforandringerne bekendte. Hvis man skal bestemme Dimensionerne for et paa den Maade paavirket Legeme, har man blot at sørge for, at den største af disse Formforandringer ikke overskrider den tilladelige Grænse. Af de i § 14 angivne Grunde plejer man imidlertid at forme denne Beregning saaledes, at man først bestemmer den ideelle Spænding $\sigma _{i}$, d. v. s. den Spænding (pr. Arealenhed), som vilde frembringe samme største Formforandring, hvis den virkede alene. Hvis f. Ex. $\epsilon _{2}$ er den største af Formforandringerne, har man:

$\sigma _{i}=E.\epsilon _{2}=\sigma _{y}-{\frac {1}{m}}(\sigma _{z}+\sigma _{x})$,

og nu skulle Dimensionerne bestemmes saaledes, at $\sigma _{i}\leq r$ (den tilladelige Fiberpaavirkning).

Man ser, at Spændingen her ikke er ligefrem proportional med Formforandringen, saa det er ikke ligegyldigt, hvilken af disse Størrelser man gaar ud fra ved Dimensionsbestemmelsen.

Naar alle Kræfterne virke til Træk, ser man, at $\sigma _{i}$ er mindre end den største af Spændingerne $\sigma _{x}$, $\sigma _{y}$, $\sigma _{z}$; Dimensionerne kunne altsaa gøres mindre, naar alle Kræfter virke samtidigt, end naar den største virker alene. Det kan følgelig være en Fordel at tilføje nye Kræfter, naar de nemlig modvirke den Formforandring, som de oprindelige Kræfter stræbe at frembringe. Hermed stemmer det ogsaa, at det virker til Gunst, naar man paa anden Maade end just ved Tilføjelse af nye Kræfter formindsker Formforandringen, saaledes f. Ex. hvis man paa en eller anden Maade hindrer Tværsnittets Formindskelse (ved Træk) eller Forøgelse (ved Tryk). Dette kan direkte eftervises ved Forsøg, som vi senere skulle se (§ 42).

Opg. 8. Et retvinklet Parallelopipedum af Støbejærn med Kantlængderne a, b og c er parallelt med Kanten b paavirket af et Træk paa 12ts., parallelt med Kanten a af et Tryk paa 20ts. Kanten c er 10 cm. lang; find de to andre Kanters Længde, naar den tilladelige Paavirkning er 150 kg./cm.² for Træk og 700 kg./cm.² for Tryk.