Teknisk Elasticitetslære/7

by Asger Ostenfeld

§ 7. Tovkurver. Hvis man i Stedet for et endeligt Antal Kræfter af endelig Størrelse har et System af uendelig mange, uendelig smaa Kræfter, bliver Tovpolygonen til en Kurve. Hvis Kræfternes Retning er variabel, bliver ogsaa Kraftpolygonen en Kurve.

Størrelsen af de uendelig smaa Kræfter angives ved Bueelementet i Kraftkurven, Resultanten af en Række paa hinanden følgende af de uendelig smaa Kræfter bliver Korde i Kraftkurven. Tovpolygonsiderne blive til Tangenter til Tovkurven. De mellem A og B (Fig. 14, Pl. 2) virkende Kræfter kunne erstattes med to enkelte, der virke i Tovpolygonsiden før den første og efter den sidste af de betragtede Kræfter, d. v. s. i Tangenterne til Tovkurven i A og B, og hvis Størrelse angives ved Længden af de med disse Tangenter parallele Polstraaler i Kraftpolygonen; Resultanten af Kræfterne mellem A og B er altsaa i Størrelse og Retning bestemt ved den Korde R' i Kraftpolygonen, der afskæres ved Straaler parallele med Tangenterne i A og B, og dens Beliggenhed er bestemt ved Skæringspunktet for disse Tangenter.

Alt, hvad der ovenfor er meddelt angaaende Tovpolygoner, gælder ifølge den sædvanlige Gaaen til Grænsen ogsaa for Tovkurver.

Hvis man skal tegne en saadan Tovpolygon til uendelig mange, uendelig smaa Kræfter, er der naturligvis ikke andet at gøre end først at dele de uendelig smaa Kræfter i et endeligt Antal Grupper og at benytte Resultanterne af Kræfterne indenfor hver Gruppe i Stedet for de uendelig smaa Kræfter; jo større man gør Kræfternes Antal, og jo mindre man altsaa gør deres Størrelse, des mere vil den tegnede Tovpolygon nærme sig til den egentlige Tovkurve.

Man kan let bevise, at ved en saadan tilnærmet Konstruktion er den tegnede Tovpolygon omskreven om Tovkurven. I Fig. 15, Pl. 2, har man i Stedet for de uendelig smaa Kræfter mellem A og B sat deres Resultant 1, ligeledes Resultanten 2 i Stedet for Kræfterne mellem B og C. Tovpolygonen til 1 og 2 er da omskreven om Tovkurven og rører den i A, B og C; thi hvis man kendte Tovkurven, skulde man netop bestemme Resultanterne 1 og 2 ved at trække Tangenterne i A, B og C, og disse Tangenter ere parallele med Straalerne i Kraftpolygonen til Endepunkterne af Korderne 1 og 2 og danne altsaa netop Tovpolygonen for 1 og 2 (med samme Pol som Tovkurven).

Parallele Kræfter. Naar de uendelig mange, uendelig smaa Kræfter ere parallele, kan deres Størrelse være given ved en Belastningskurve, d. v. s. en Kurve, hvis Ordinater p = f(x) angive Størrelsen af Belastningen pr. Længdeenhed. Den uendelig lille Kraft i Punktet med Abscisse x er p.dx, altsaa lig Arealelementet af Belastningsfladen (Arealet mellem Belastningskurven og Abscisseaxen), og hele Belastningen mellem to Punkter med Abscisser a og b er $\int _{a}^{b}pdx$, altsaa lig Arealet af Belastningsfladen. Naar man ved Tegning skal finde Tovpolygonen til en saadan Belastning (Fig. 16, Pl. 2), deler man Belastningsfladen ved Ordinaterne p₁, p₂... i Strimler og benytter Enkeltkræfter P_1—2, P_2—3.... af Størrelse som Arealerne af Strimlerne og virkende i disse Arealers Tyngdepunkter; Tovpolygonen til P_1—2, P_2—3... rører da den egentlige Tovkurve, og Røringspunkterne falde i Ordinaterne p₁, p₂... (Skillelinierne mellem Strimlerne).

Undertiden har man Brug for Tovkurvens Ligning (parallele Kræfter). I Fig. 17, Pl. 2. er der lagt et vilkaarligt Koordinatsystem; man har da:

$tg\varphi =\pm {\frac {dy}{dx}}={\frac {P_{x}}{h}}$,

hvor P_x, betegner Størrelsen af Belastningen mellem Punkterne a (hvis Tangent er parallel med X-Axen) og (x, y), h Poldistancen; øverste Fortegn skal bruges, naar Tovkurven vender Konkaviteten i den positive Y-Retning, nederste, naar Konkaviteten vender i den negative Y-Retning.

Idet dP_x = pdx, bliver Tovkurvens Differentialligning:

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=\pm {\frac {p}{h}}$.

For at kunne udføre Integrationen maa man kende Belastningskurvens Ligning: p = f(x); efter Integrationens Udførelse indeholder Ligningen tre Konstanter (Poldistancen og to Integrationskonstanter), hvilket stemmer med, at en Tovpolygon kræver tre Betingelser for at være bestemt. Konstanterne kunne bestemmes, naar man f. Ex. kender tre Punkter, hvorigennem Kurven skal gaa. Speciel Interesse har det Tilfælde. hvor Belastningskurvens Ligning er: p = Konst.; Belastningen siges da at være ensformig fordelt. Tovkurvens Ligning bliver i saa Fald:

$y=\pm {\frac {p.x^{2}}{2h}}$,

idet Integrationskonstanterne ere bestemte saaledes, at x = 0 giver y = 0, ${\frac {dy}{dx}}=0$. Tovkurven er altsaa en Parabel med Toppunkt i Begyndelsespunktet og lodret Axe (Kraftretningen forudsat lodret).

Da denne Parabel ofte benyttes i det følgende, skal her vises en simpel Konstruktion af dens Punkter. I Fig. 18, Pl. 3, er, saaledes som det sædvanligt vil være Tilfældet, givet Toppunktet A, Tangenten i Toppunktet AB og Punktet C. Parabelpunktet i Verticalen Mm findes da ved at trække AC, der giver Punktet m₁, dernæst m₁m₂ ≠ AB, og endelig Am₂, der giver det søgte Punkt m. Man har nemlig:

$Mm={\frac {x}{l}}Bm_{2}={\frac {x}{l}}Mm_{1}={\frac {x^{2}}{l^{2}}}BC$.

Konstruktionen gælder ogsaa for skævvinklede Koordinater (naar BC er Diameterretningen for Tangenten AB).

Der er endnu et Tilfælde af kontinuerlig fordelt Belastning, som det kan have Interesse at undersøge, nemlig: kan Belastningskurve og den tilsvarende Tovkurve falde sammen?

Ditferentialligningen for den Kurve, der opfylder den nævnte Betingelse, er:

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {y}{h}}$,

idet Belastningskurvens Ligning skal være: p = y, hvor y er Tovkurvens Ordinat. Det negative Fortegn skal benyttes, idet vi ville forudsætte, at det Stykke af Kurven, der skal bruges som Belastningskurve, og hvorom der altsaa alene er Tale, baade skal begynde og ende med Ordinaten Nul; og i saa Fald indser man, at y og ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ maa have modsat Fortegn.

Integration af Differentialligningen giver:

$y=C_{1}\sin {\sqrt {\frac {1}{h}}}x+C_{2}\cos {\sqrt {\frac {1}{h}}}x$,

og hvis x = 0 skal give y = 0, faas C₂ = 0 og altsaa:

$y=C_{1}\sin {\sqrt {\frac {1}{h}}}x$.

En af de tilbageværende Konstanter, C₁ og h, kan bestemmes ved, at f. Ex. x = l skal give y = 0, hvorved

$C_{1}\sin {\sqrt {\frac {1}{h}}}l=0$.

Heraf faas enten C₁ = 0, altsaa det selvfølgelige Resultat, at til Belastningskurven p = y = 0 svarer Tovkurven y = 0, eller

$h={\frac {l^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}$,

hvor n er et helt Tal; i sidste Tilfælde er Kurvens Ligning:

$y=C_{1}\sin {\frac {n\pi }{l}}x$.

Den søgte Kurve er en Sinusoide, hvis Maximumsordinat er C₁, altsaa vilkaarlig.

Det fundne Resultat faar Betydning ved Beregning al Søjler (§ 63).

Opg. 3. Find Tovkurvens Ligning, naar Belastningen varierer som Ordinaterne til Tovkurven selv, maalte ud fra en vandret Linie, der ligger paa Tovkurvens konvexe Side.