Teknisk Elasticitetslære/21

by Asger Ostenfeld

III. Vridning.

§ 21. Vridning af en ret, cirkulær Cylinder. Naar en saadan Cylinder i sine to Endeflader er paavirket af to lige store, modsat drejende Kraftpar, hvis Planer staa vinkelret paa Axen, vil Formforandringen bestaa i, at de forskellige Tværsnit blive drejede i Forhold til hinanden om Cylindrens Axe. Idet vi forudsætte Cylindren fuldstændig homogen, maa Drejningen være ensformig fordelt over Længden; Vridningsvinklen pr. Længdeenhed kaldes $\vartheta$. Endvidere forudsætte vi, at alle Normalsnit i Cylindren holde sig plane; i saa Fald kan Formforandringen kun bestaa i en Drejning om Axen; denne maa nemlig blive ved med at være en Symmetrilinie, Normalsnittene maa derfor vedblive at være vinkelrette paa den, og da Axens Længde ikke forandres, maa Normalsnittene ved Vridningen glide i deres egne Planer. — Af det nu sagte følger, at en Linie i Cylindren, der oprindelig var parallel med Axen, efter Formforandringen er gaaet over til at blive en Skruelinie.

Vi lægge to konsekutive Normalsnit i Afstanden dz (Fig. 50. Pl. 6). Idet Vridningsvinklen pr. Længdeenhed er $\vartheta$, vil det ene af de to Snit dreje sig Vinklen $\vartheta .dz$ i Forhold til det andet. Idet vi tænke os det nederste Normalsnit liggende fast, vil et Punkt A i det øverste Snit blive drejet hen til Stillingen A', idet $\angle AOA'=\vartheta .dz$. Af den uendelig tynde Skive mellem de to Normalsnit tænke vi os dernæst udskaaret et Prisme omkring den lodrette Linie AA med Arealelementer i Normalsnittene som Grundflader; ved Formforandringen vil Prismets øverste Endeflade glide i det øverste Normalsnit, saaledes at Kanterne lægge sig efter Skruelinie-Elementer som AA'. Den Formforandring, Prismet herved er undergaaet, er en ren Forskydning, og den Vinkel $\phi$, der er et Maal for Forskydningen, ses i Fig. 50 lodret projiceret som $\angle A'_{L}A_{L}A_{L}$. Idet Punktet A befinder sig i Afstanden $\rho$ fra Axen, haves:

$\operatorname {tg.} \phi ={\frac {\rho \vartheta dz}{dz}}=\rho \vartheta$.

Det erindres, at Vinklen $\phi$ skal være Ændringen af den rette Vinkel mellem et Snit og dets Normal, altsaa her Komplement til den Vinkel, som Prismets Kanter danne med dets Endeflade, og deraf følger, at ovenstaaende Udtryk for $\operatorname {tg.} \phi$ kun er rigtigt, hvis Normalsnittet har holdt sig plant og vinkelret paa Axen.

Spændingerne i et Normalsnit maa aabenbart holde Ligevægt mod det ved den ene Ende af Cylinderen virkende ydre Kraftpar med Moment M_v, det vridende Moment. Forskydningsspændingen paa Arealelementet dF ved A (Fig. 50) er:

$\tau =G\operatorname {tg.} \phi =G\rho \vartheta$.

Kraften $\tau dF$ paa Arealelementet dF virker vinkelret paa Radius; ved at tage Momenterne med Hensyn til Axen faas:

$M_{v}=\int G\rho \vartheta dF.\rho =G\vartheta \int \rho ^{2}dF=G\vartheta I_{p}$,

hvor I_p betegner Tværsnittets polære Inertimoment. Denne Ligning vilde gælde ganske uafhængig af Tværsnitsformen, hvis de Forudsætninger, under hvilke den er udviklet, vare korrekte i Almindelighed; dette er dog kun Tilfældet for cirkulært Tværsnit, som vi skulle se nedenfor.

For den cirkulære Cylinder haves: $I_{p}={\frac {1}{2}}\pi r^{4}$, idet r betegner Radius til Omkredsen, hvorved:

$\vartheta ={\frac {2M_{v}}{\pi Gr^{4}}}$ og $\theta ={\frac {2lM_{v}}{\pi Gr^{4}}}$,

(7).

idet $\theta$ betegner Vridningsvinklen for Længden l. Ligning (7) er Relationen mellem de ydre Kræfter og Formforandringen $\vartheta$ eller $\theta$; hvis man afsætter M_v som Ordinat, $\vartheta$ som Abscisse, faas en ret Linie gennem Begyndelsespunktet, ganske analogt med Forholdene ved Træk og Tryk.

Den største Forskydning optræder aabenbart ude ved Omkredsen, og Dimensionerne skulle bestemmes saaledes, at denne største Formforandring $\vartheta$ ikke overskrider det tilladelige, $\vartheta _{1}$. Naar vi her, som sædvanligt, hvor Kræfter og Formforandringer ere proportionale, udtrykke den tilladelige Formforandring $\vartheta _{1}$ ved den tilladelige Spænding f, haves altsaa hertil:

$f=Gr\vartheta _{1}$,

og ved at indføre denne Værdi af $\vartheta _{1}$ i (7) findes:

$M_{v}={\frac {1}{2}}\pi fr^{3}$

(8).

til Bestemmelse af Dimensionerne.

For en hul cirkulær Cylinder med Radierne r₁ og r₀ haves:

$I_{p}={\frac {1}{2}}\pi \left({r_{1}}^{4}-{r_{0}}^{4}\right)$,

hvorved

$\vartheta '={\frac {2M'_{v}}{\pi G\left({r_{1}}^{4}-{r_{0}}^{4}\right)}}$

(7 a)

og

$M'_{v}={\frac {1}{2}}\pi f{\frac {{r_{1}}^{4}-{r_{0}}^{4}}{r_{1}}}$.

(8 a)

Sammenlignes en hul og en massiv Cylinder med samme Volumen, haves: $r^{2}={r_{1}}^{2}-{r_{0}}^{2}$, og sættes $r_{1}=nr$ (n > 1), faas: ${r_{0}}^{2}=(n^{2}-1)r^{2}$, ${r_{1}}^{2}+{r_{0}}^{2}=(2n^{2}-1)r^{2}$, og endelig: ${r_{1}}^{4}-{r_{0}}^{4}=(2n^{2}-1)r^{4}$. Man finder da Forholdet mellem Vridningsvinklerne for samme vridende Moment ($M_{v}=M_{v}'$):

${\frac {\vartheta }{\vartheta '}}=2n^{2}-1>1$,

altsaa er en hul Cylinder »stivere« end en massiv med samme Volumen (at et Legeme er i Besiddelse af stor Stivhed, vil sige, at dets Formforandring under Paavirkning af en given Kraft er lille). Paa samme Maade findes Forholdet mellem de vridende Momenter, som de to Cylindre kunne modstaa med samme tilladelige Fiberpaavirkning f:

${\frac {M_{v}}{M_{v}'}}={\frac {n}{2n^{2}-1}}<1$.

Bæreevnen er altsaa ogsaa størst for den hule Cylinder, men da $2n^{2}-1>{\frac {2n^{2}-1}{n}}$, er Fordelen ved at anvende en hul Cylinder større for Stivhedens end for Styrkens Vedkommende. Denne Sammenlignings Resultater ere paa Forhaand temmelig indlysende, idet Materialet i Nærheden af Cylinderens Axe kun bliver svagt paavirket og altsaa ikke gør synderlig Nytte.

Exempel. En Smedejærns Axel af 9m. Længde skal overføre et vridende Moment paa 6,4ts.m.. Bestem Dimensionen og Vridningsvinklen, idet f = 560 kg./cm.², G = 800000kg./cm.².

Man har:

$r={\sqrt[{3}]{\frac {2\cdot 640000}{\pi \cdot 560}}}=9\operatorname {cm.}$.

$\theta ={\frac {2\cdot 900\cdot 640000}{\pi \cdot 800000\cdot 9^{4}}}=0,07\approx 4^{\circ }$.

Man finder lettere $\theta$, naar man i Forvejen har beregnet r ved Hjælp af Relationen:

$\theta =\vartheta .l={\frac {f.l}{G.r}}={\frac {560\cdot 900}{800000\cdot 9}}=0,07$.

Ligesom Formlerne for Træk og Tryk kunne ogsaa de her udviklede for Vridning anvendes paa Omdrejningslegemer. For at finde Vridningsvinklen af et saadant Legeme opskriver man ved (7) den uendelig lille Vinkel, der faas for en Skive, begrænset af to konsekutive Planer vinkelrette paa Axen:

$d\theta ={\frac {2M_{v}dz}{\pi Gr^{4}}}$,

og finder hele Vridningsvinklen ved en Integration; for at kunne udføre denne maa man kende Relationen mellem r og z, Ligningen for Meridiankurven. Legemets Bæreevne bestemmes ved Ligning (8), hvor r er Radius i det mindste Tværsnit.