Teknisk Elasticitetslære/9

by Asger Ostenfeld

§ 9. Tyngdepunktsbestemmelse for plane Arealer. Tyngdepunktet af et plant Areal findes, som bekendt, ved at inddele i Arealelementer, repræsentere hvert Elements Areal ved en Kraft gennem Elementets Tyngdepunkt og bestemme den Linie, hvori alle disse parallele Kræfters Resultant virker; ved at lade Kræfterne virke i to forskellige Retninger finder man to rette Linier gennem Tyngdepunktet.

Det er herefter klart, at man kan anvende Tovpolygoner til Konstruktionen.

I Fig. 23, Pl. 3, er det forelagte Areal delt i tre Rektangler; disses Arealer ere beregnede og efter en eller anden Arealmaalestok (1 cm ~ n cm²) afsatte som lodrette Kræfter i Kraftpolygonen. Med en vilkaarlig Pol O er der tegnet en Tovpolygon, og dennes yderste Sider skære hinanden i et Punkt af den lodrette Linie gennem Tyngdepunktet. Dernæst lader man de samme Kræfter virke i en ny Retning og bestemmer atter deres Resultant. Ved at anvende to paa hinanden vinkelrette Retninger af de parallele Kræfter kan man nøjes med én Kraftpolygon; Siderne i den 2den Tovpolygon tegnes da vinkelret paa Kraftpolygonens Straaler.

Kræfternes Størrelse skal være proportional med de Arealer, de repræsentere. Dette kan opnaas ved som ovenfor at beregne Arealerne og afsætte dem efter en eller anden Maalestok, eller man kan grafisk omforme de enkelte Arealer til Rektangler med samme Grundlinie og benytte Højderne som Kraftstørrelser. Fig. 24, Pl. 3, viser Omformning af Rektanglet ABCD til et nyt Rektangel AFGE med den givne Grundlinie AE (FB ≠ CE). Kræfterne skulle anbringes gennem Smaaarealernes Tyngdepunkter. Man kan i den Anledning faa Brug for at kunne konstruere Tyngdepunktet i et Trapez; en saadan Konstruktion, som i mange Tilfælde er bekvemmere end den almindelige^[1], er angivet af R. Land^[2] og ses i Fig. 25, Pl. 3: Tyngdepunktet T ligger paa Forbindelseslinien ME for Midtpunkterne af de parallele Sider, og endvidere paa T₁T₂ ≠ AC; trækkes BE ≠ AC, haves $MT={\frac {1}{3}}ME$.

I et saa simpelt Tilfælde som det i Fig. 23 forudsatte, vil det være hurtigere at anvende en almindelig Momentberegning end en grafisk Konstruktion. Den beskrevne Methode faar først Betydning, naar det givne Areal er begrænset af forskellige krumme Linier, navnlig naar det kun er givet ved en Tegning. Konstruktionen udføres da mest praktisk paa følgende Maade (Fig. 26, Pl. 4).

Arealet inddeles ved Linier parallele med den valgte Kraftretning i Strimler af konstant Bredde og med saa lille en Bredde, at Strimlen nøjagtigt nok kan betragtes som et Rektangel (i alt Fald saaledes at man strax nøjagtigt nok kan maale en Middelhøjde af Strimlen med Passeren); Kraftlinierne ligge da midt mellem Delelinierne, eller deres Beliggenhed kan ved større Afvigelser fra den rektangulære Form angives tilstrækkelig nøjagtigt ved et Skøn. I Fig. 26 er inddelt i Strimler af Bredde ${\frac {3}{4}}$cm. undtagen i Skinneprofilets Krop, hvor der er anvendt den dobbelte Bredde for ikke at faa Arealerne altfor smaa. Strimlernes Højde (Middelhøjde) kan nu benyttes som Kraftstørrelse, men da den i Almindelighed er for stor til at bruges direkte, tager man kun en vis Brøkdel deraf, hvilket udføres ved en Reduktionsvinkel (Fig. 27, Pl. 4) uden at aflæse Højdens Størrelse paa nogen Maalestok: med Højden Oa i Passeren gaar man hen paa Reduktionsvinklen, og med det ene Passerben i a føler man sig frem, indtil det andet tangerer Linien Ob; Længden ab afsættes dernæst direkte i Kraftpolygonen; i Fig. 27 er $ab={\frac {1}{4}}Oa$. Hvor Strimlernes Bredde er dobbelt saa stor som normalt, maa man naturligvis tage den dobbelte Kraftstørrelse af den, der direkte findes ved Reduktionsvinklen. At bruge en Reduktionsvinkel for Højderne med Forholdet ${\frac {1}{n}}$ er ensbetydende med at omforme Strimlerne til Rektangler med en n Gange saa stor Grundlinie som den konstante Bredde.

Naar man paa denne Maade har faaet Kraftpolygonen, tegnes Tovpolygonen som sædvanligt.

1. Se f. Ex. Jul. Petersen: Statik.
2. Robert Land: Einfluss der Schubkräfte auf die Biegung etc. Berlin, 1895. I et »Anhang« gives forskellige Tyngdepunktsbestemmelser.