Teknisk Elasticitetslære/13
ANDET AFSNIT.
Usammensatte Paavirkninger.
§ 13. Den tekniske Elasticitetslære beskæftiger sig med to Hovedopgaver, nemlig at bestemme Dimensionerne af et Legeme, der er paavirket af givne ydre Kræfter, og at bestemme de af Kræfterne bevirkede Formforandringer. Naar man gaar til Bunds i Sagen, vil det imidlertid vise sig, at ogsaa Dimensionsbestemmelsen beror paa en Bestemmelse af Formforandringer, — Dimensionerne maa være tilstrækkelige til at hindre Formforandringerne i at overskride den »tilladelige Grænse«. Den tekniske Elasticitetslæres Maal er altsaa direkte eller indirekte en Bestemmelse af Formforandringerne som Funktioner af de ydre Kræfter.
Den rationelle Mekanik giver Ligevægtsbetingelserne for de ydre Kræfter, idet Legemerne i Almindelighed betragtes som absolut faste. De paa denne Maade udledede Ligevægtsbetingelser have ikke desto mindre fuld Gyldighed ogsaa her, naar man indskrænker sig til at undersøge Forholdene, efterat Formforandringen har fundet Sted og der er indtraadt Ligevægt. I de første Øjeblikke efterat Kræfterne have begyndt at virke, vil der, hvis dette er sket pludseligt, indtræde Svingninger om Ligevægtsstillingen; Undersøgelsen af de herved bevirkede Formforandringer og deres Tilladelighed har selvfølgelig overordentlig stor praktisk Betydning, men er i de fleste Tilfælde ugennemførlig eller i alt Fald meget vidtløftig, saa man søger at komme udenom Spørgsmaalet og hjælpe sig med de for Ligevægt fundne Resultater, idet man modificerer disse ved Tilføjelse af Erfaringskoefficienter. Vi ville kun enkelte Gange i det følgende komme til at strejfe ind paa dette »dynamiske« Omraade: i Almindelighed forudsætte vi Ligevægten indtraadt.
Formforandringerne kunne være elastiske, d. v. s. de forsvinde, naar Kræfterne høre op at virke, eller permanente, og Legemernes Forhold overfor de ydre Kræfters Virkning er højst forskelligt, eftersom det ene eller det andet er Tilfældet. Naar et Legeme kun er i Stand til at undergaa permanente Formforandringer, er den Modstand, Legemet gør mod at deformeres kun passiv; naar Formforandringen er foregaaet, hersker der ingen indre Spændinger. Hvis Legemet derimod er fuldstændig elastisk, fremkaldes der aktive indre Kræfter, der modsætte sig Formforandringen, og denne fortsættes kun, indtil der bliver Ligevægt mellem de ydre Kræfter og de indre Modstande: Legemet forholder sig som en spændt Fjeder. Til givne ydre Kræfter svarer der ganske bestemte Spændinger i Legemets forskellige Punkter, og idet Formforandringerne variere med Spændingerne, maa man først bestemme disse sidste.
Til Bestemmelse af Spændingerne har man, at de skulle holde Ligevægt mod de ydre Kræfter, og til Ligevægt fordres, at hver enkelt Del af Legemet for sig skal være i Ligevægt Hvis man derfor skærer en Del af Legemet løs fra det øvrige ved et eller flere, plane eller krumme Snit, maa altsaa de indre Kræfter, der virke paa disse Snit, holde Ligevægt mod de ydre Kræfter paa det udskaarne Stykke af Legemet. Spændingerne variere naturligvis i Almindelighed fra Punkt til Punkt i Snittene, og naar man vil have denne Variation bestemt, maa man derfor begynde med at skære en uendelig lille Del af Legemet løs og opstille Ligevægtsbetingelserne herfor. Ofte interesserer det kun at bestemme Resultanten af Spændingerne paa et Snit af endelig Størrelse, og ifølge den beskrevne »Snitmethode« maa denne Resultant da holde Ligevægt mod alle de ydre Kræfter, der virke paa det udskaarne Stykke af Legemet (»paa den ene Side af Snittet«).
Naar man paa denne Maade har bestemt Spændingernes Afhængighed af de ydre Kræfter, mangler man endnu kun en Relation mellem Spændinger og Formforandringer; en saadan kan kun udledes ved Forsøg med de enkelte forskellige Legemer. De Legemer, vi her have med at gøre, ere kun saadanne, der anvendes i Bygnings-, Maskin- eller lignende Konstruktioner, og de ere som oftest ikke fuldkommen elastiske; Formforandringen bestaar af en elastisk og en permanent Del selv for de mindste Paavirkninger, fuldkommen Elasticitet findes sandsynligvis aldrig, i alt Fald ikke i Legemernes oprindelige Tilstand. Naar Formforandringerne saaledes ere dels elastiske, dels blivende, er det kun de første, der fremkalde aktive indre Kræfter, Spændinger, og den omtalte Relation mellem Spændinger og Formforandringer angaar altsaa i alle Tilfælde kun de elastiske Formforandringer.
Hvad nu selve denne Relation angaar, saa har man i lange Tider antaget den for lineær. Det blev allerede fremsat i Aaret 1678 af Englænderen Hooke, at Spændinger og Formforandringer vare ligefrem proportionale, og denne Hooke's Lov har dannet Grundlaget for Elasticitetslæren lige op til vor Tid. I Tidens Løb blev man efterhaanden klar over, at den i alt Fald kun gælder, saalænge Paavirkningen (eller Formforandringen) ikke overskrider en vis Grænse, og op til samme Grænse antog man saa i lang Tid, at Formforandringerne vare fuldkommen elastiske. De senere Aars videnskabelige Materialundersøgelser have imidlertid vist, at der er en Mængde Legemer, for hvilke Loven ikke gælder — naturlige og kunstige Sten, Cementmørtel, Støbejærn og forøvrigt vistnok Størstedelen af Metallerne — og for Øjeblikket staar Sagen nærmest saaledes, at man kun kan antage den som rigtig for smedeligt Jærn op til en vis Grænse.
Imidlertid er smedeligt Jærn nu til Dags langt det vigtigste af alle Byggematerialer, og den Grænse, indenfor hvilken Hooke's Lov her gælder, ligger i alt Fald saa højt, at de i permanente Konstruktioner optrædende Spændinger holde sig indenfor den. Og selv om man er sig bevidst, at Hooke's Lov ikke er nøjagtig for de andre Materialer, regner man dog endnu som oftest med de ved den udledede Formler, dels paa Grund af de mange Aars Hævd, dels fordi Beregningerne blive ulige vidtløftigere, saasnart man antager en anden Lov; undertiden kan man ved en Erfaringskoefficient bringe Overensstemmelse til Veie med de virkelige Forhold. I et følgende Afsnit skulle vi komme nærmere ind paa de enkelte Materialers virkelige elastiske Forhold og de heraf følgende korrektere Beregningsmaader. I dette Afsnit ville vi gaa ud fra Hooke's Lov som almindeligt gældende; men de her udledede Formler kunne altsaa strengt taget kun anvendes for Svejsjærn og Staal og endda kun under Forudsætning af, at Paavirkningen ikke overskrider Lovens Gyldighedsgrænse, den saakaldte Proportionalitetsgrænse. I Overensstemmelse hermed ville vi ogsaa i dette Afsnit ganske afholde os fra Undersøgelsen af Fænomener, der vise sig i Nærheden af Materialernes Brudgrænse, hvor Hooke's Lov absolut aldrig gælder.
Ogsaa de for de enkelte Materialer gældende Konstanter, som man faar Brug for ved Beregningerne, skulle først meddeles senere.