Side:Teknisk Elasticitetslære.djvu/82

og paa samme Maade findes:

$\tau _{y}=G\left({\frac {\delta z}{\delta y}}+\vartheta x\right)$.

(b).

Vi tænke os dernæst, at det betragtede uendelig lille Prisme om Punktet A er et retvinklet Parallelopipedum med Kanterne dx, dy, dz (Fig. 52, Pl. 6). I dettes nederste Flade, AB, virke Spændingerne $\tau _{x}$ og $\tau _{y}$, altsaa maa der i AC virke en Spænding $\tau _{x}$, i BD: $-(\tau _{x}+d\tau _{x})$, i AD: $\tau _{y}$, i BC: $-(\tau _{y}+d\tau _{y})$; der virker ingen Normalspændinger. Ligevægten fordrer, at Summen af de lodrette Kræfter er Nul, hvorved:

$\tau _{x}dydz-(\tau _{x}+{\frac {\delta \tau _{x}}{\delta x}}dx)dydz+\tau _{y}dxdz-(\tau _{y}+{\frac {\delta \tau _{y}}{\delta y}}dy)dxdz=0$,

eller

${\frac {\delta \tau _{x}}{\delta x}}+{\frac {\delta \tau _{y}}{\delta y}}=0$

og ved Indførelse af de ovenfor fundne Værdier af $\tau _{x}$ og $\tau _{y}$:

${\frac {\delta ^{2}z}{\delta x^{2}}}+{\frac {\delta ^{2}z}{\delta y^{2}}}=0$,

(c).

hvilket er Differentialligningen for den Flade, hvorefter Normalsnittet har krummet sig.

Som i Indledningen til denne Paragraf bemærket, have vi endnu en Betingelse, der skal tilfredsstilles: ude ved Normalsnittets Omkreds er Forskydningen rettet efter Omkredsens Tangent. Derved faas (Fig. 51):

$\operatorname {tg.} \gamma ={\frac {dy}{dx}}={\frac {\tau _{y}}{\tau _{x}}}$,

(d).

hvilken Betingelse skal være opfyldt i alle Punkter af Omkredsen (med Ligningen $F(x,y)=0$).

Hvis man nu ved Integration af Ligning (c) har faaet den Flade bestemt, hvorefter Normalsnittet vil krumme sig, kender man ${\frac {\delta z}{\delta x}}$ og ${\frac {\delta z}{\delta y}}$ i Ligningerne (a) og (b) og derved Spændingens Variation, og man kan da opskrive Ligevægtsbetingelsen for det ydre vridende Moment og de indre Kræfter i et Normalsnit ganske som for den cirkulære Cylinder.

Vi ville søge Betingelser: for, at Normalsnittet holder sig