Side:Teknisk Elasticitetslære.djvu/81

retlinede Frembringere antage Form af Skruelinier, men for et andet Tværsnit kan det ikke være rigtigt, hvilket indses ved at gaa ud til Konturen; her maa Forskydningsspændingen være rettet efter Tangenten. Vi skulle se, hvorledes man kan gennemføre Beregningen uden disse Forudsætninger.^[1]

Vi lægge (Fig. 51, Pl. 6) som ovenfor to konsekutive Normalsnit i Legemet og betragte et uendelig lille Prisme med lodrette Kanter og med sine Endeflader beliggende i Normalsnittene; den nederste Endeflade dannes af Arealelementet om Punktet A. Formforandringen bestaar i en ren Forskydning, hvorved den øverste Endeflade kommer hen til Punktet A'. For at faa et Udtryk for Spændingen maa man have fat paa den Vinkel $\phi$, der er et Maal for Forskydningen. $\phi$ er Komplement til Vinklen mellem Prismets Kanter og Endeflade, efterat Formforandringen har fundet Sted, men man maa her erindre, at Prismets Endeflade ikke er bleven liggende i det oprindelige Normalsnit. Dette har antaget Form af en krum Flade $z=f(x,y)$, og Prismets Endeflade ligger i Tangentplanen til denne Flade i Punktet A med Koordinaterne x, y, z. $\phi$ er altsaa Vinklen mellem denne Flades Normal N i A og Linien AA'.

Man har nu Spændingens Størrelse $\tau =G.\operatorname {tg.} \phi$; for ogsaa at faa dens Retning bestemt ville vi søge dens Komposanter $\tau _{x}$ og $\tau _{y}$ efter Koordinataxerne x og y; z-Axen er den Axe, hvorom Vridningen finder Sted. Idet Formforandringen $\operatorname {tg.} \phi$ betragtes som en lille Størrelse, kan man sætte $\operatorname {tg.} \phi =\phi$ og behandle Vinklens Projektioner paa xz- og yz-Planerne paa samme Maade. Man har da: $\tau _{x}=G.\operatorname {tg.} \phi '$, hvor $\phi '$ er Projektionen af $\phi$ paa xz-Planen, og naar Normalen N er projiceret i $N_{L}$ (Fig. 51), haves med Figurens Betegnelser: $\phi '=\alpha +\beta$. Ved Behandlingen af den cirkulære Cylinder havdes $\beta =0$ og $\phi '=\alpha$; endvidere $\operatorname {tg.} \phi =\vartheta .\rho$, hvoraf $\operatorname {tg.} \phi '=-\vartheta .y$ ($\vartheta .\rho$ afsættes i Retningen $A_{V}A'_{V}$ og projiceres paa x-Axen); her er altsaa $\operatorname {tg.} \alpha =-\vartheta .y$. $\operatorname {tg.} \beta$ er som bekendt lig ${\frac {\delta z}{\delta x}}$, hvorefter man har:

$\tau _{x}=G\operatorname {tg.} \phi '=G(\operatorname {tg.} \alpha +\operatorname {tg.} \beta )=G\left({\frac {\delta z}{\delta x}}-\vartheta y\right)$,

(a).

1. Problemet er navnlig behandlet af de Saint-Venant. Fremstillingen her følger nærmest den af Flamant (Resistance des matériaux, Paris, 1886) givne.