Side:Teknisk Elasticitetslære.djvu/74

Naar man skal bestemme Dimensioner af et Legeme, der er paavirket til Forskydning, maa man selvfølgelig sørge for, at hverken den tilladelige Forskydning ($\operatorname {tg.} \phi$) eller den tilladelige Forlængelse ($\epsilon$) overskrides. Heraf følger, at den tilladelige Værdi af Forskydningen ($\operatorname {tg.} \phi$) højst maa være dobbelt saa stor som den tilladelige Forlængelse, eller idet Spændinger og Formforandringer her ere proportionale, at

$f\leq 2{\frac {G}{E}}.r$.

(4).

Herved kan man udlede den tilladelige Forskydningsspænding f af den tilladelige Træk- eller Trykpaavirkning r, hvis man kender G og E. Naturligvis gælder Relationen (4) kun for fuldstændig isotrope Legemer.

G og E kunne bestemmes ved Forsøg. Imidlertid kan man ad rent theoretisk Vej udlede en Relation mellem dem, saaledes som vi nu skulle se.

Vi betragte en Tærning ABCD med Kanten 1 (Fig. 49, Pl. 5) paavirket til Træk af Spændingen (Kraften) $\sigma$. Herved forlænges AB til $A_{1}B_{1}=1+\epsilon$ og forkortes AD til $A_{1}D_{1}=1-{\frac {\epsilon }{m}}$. Som vi ovenfor have set, optræder der i skraa Snit i Tærningen Forskydningsspændinger, som naa deres Maximum i Diagonalplanerne AC og BD. Disse danne oprindelig en ret Vinkel med hinanden, og et Maal for Forskydningen haves i Ændringen $\phi$ af denne rette Vinkel.

Idet $\angle BOB_{1}={\frac {1}{2}}\phi$, og $\operatorname {tg.} \alpha ={\frac {1-{\frac {\epsilon }{m}}}{1+\epsilon }}$, haves

$\phi ={\frac {\pi }{2}}-\angle B_{1}OC_{1}={\frac {\pi }{2}}-2\alpha$,

$\operatorname {tg.} \phi =\cot 2\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg.} ^{2}\alpha }{2\operatorname {tg.} \alpha }}={\frac {1-\left({\frac {1-{\frac {\epsilon }{m}}}{1+\epsilon }}\right)^{2}}{2{\frac {1-{\frac {\epsilon }{m}}}{1+\epsilon }}}}$